
<html><head><style>body{font-family:Helvetica,Arial;font-size:13px}</style></head><body style="word-wrap: break-word; -webkit-nbsp-mode: space; -webkit-line-break: after-white-space;"><div id="bloop_customfont" style="font-family:Helvetica,Arial;font-size:13px; color: rgba(0,0,0,1.0); margin: 0px; line-height: auto;">Very interesting</div><div id="bloop_customfont" style="font-family:Helvetica,Arial;font-size:13px; color: rgba(0,0,0,1.0); margin: 0px; line-height: auto;"><br></div><div id="bloop_customfont" style="font-family:Helvetica,Arial;font-size:13px; color: rgba(0,0,0,1.0); margin: 0px; line-height: auto;">However - in point 3 I see the phrase “… , and what lead end orders are <b>allowable</b>”. I thought we were aiming for (simple and) permissive. Isn’t allowable a bit regressive in that regard?</div><div id="bloop_customfont" style="font-family:Helvetica,Arial;font-size:13px; color: rgba(0,0,0,1.0); margin: 0px; line-height: auto;"><br></div><div id="bloop_customfont" style="font-family:Helvetica,Arial;font-size:13px; color: rgba(0,0,0,1.0); margin: 0px; line-height: auto;">Obviously I may have missed the point :)</div><div id="bloop_customfont" style="font-family:Helvetica,Arial;font-size:13px; color: rgba(0,0,0,1.0); margin: 0px; line-height: auto;"><br></div><div id="bloop_customfont" style="font-family:Helvetica,Arial;font-size:13px; color: rgba(0,0,0,1.0); margin: 0px; line-height: auto;">Phil</div> <br> <div id="bloop_sign_1528753777343270912" class="bloop_sign"></div> <br><p class="airmail_on">On 10 June 2018 at 12:22:48, Mark Davies (<a href="mailto:mark@snowtiger.net">mark@snowtiger.net</a>) wrote:</p> <blockquote type="cite" class="clean_bq"><div><div></div><div>The Plain Bob leadhead order with its associated "natural coursing <br>order" is all-pervasive in the world of method-ringing. It has the <br>following interesting properties:<br><br>1. It can be produced by methods which are symmetric about the half-lead.<br><br>2. It can be produced by methods with either 12 or 1n places at the lead <br>end.<br><br>3. It extends naturally to all stages.<br><br>On n bells there are (n-3)! possible leadhead orders for <br>non-Differential treble-dominated methods. I think the PB order is the <br>only one which possesses all three properties above, but there are <br>others which share two out of three properties. For instance the <br>"cyclic" order, characterized by leadheads such as 134562, 13456782, <br>1345678902 etc, can be produced either by 12 or 1n, and extends <br>naturally to all stages. However it cannot be produced (in the normal <br>way) by a symmetric method.<br><br>There are plenty of other leadhead orders which can be produced by <br>symmetric methods and which allow one PN at the lead end, e.g. 12 only. <br>The following Minor and Major orders fall into this category:<br><br>65423: 142563, 154632, 165324, 136245<br>8746253: 16572483, 14286735, 17634852, 18457326, 13728564, 15863247<br>8745263: 15674283, 14287536, 17538462, 18463725, 13726854, 16852347<br>8736254: 16752384, 13826745, 17463852, 18537426, 14278563, 15684237<br>8735264: 15763284, 13827546, 17458362, 18634725, 14276853, 16582437<br>8764235: 14263785, 16472853, 17684532, 18756324, 15837246, 13528467<br>8763245: 13624785, 16732854, 17863542, 18576423, 15487236, 14258367<br>8754236: 14257386, 15478263, 17586432, 18763524, 16832745, 13624857<br><br>Here I list the coursing order followed by the non-rounds leadheads of <br>the group. The coursing order is taken by examining the bells falling <br>into positions (n)(n-1) at the leadheads, normalised to put the tenors <br>first.<br><br>My questions are:<br><br>1. Is there a relationship between the 6-bell order and one or more of <br>the Major orders, in the same way that the PB and cyclic orders <br>naturally "extend" to higher numbers? If so, what would the Royal, <br>Maximus etc extensions look like?<br><br>2. Is there a general way of finding such a relationship between <br>irregular leadhead orders at different stages?<br><br>3. Should any such relationship naturally respect the "structural" <br>properties such as whether a symmetric method is possible,<font color="#ff2702"> and what lead <br>ends PNs are allowable</font>?<br><br>Is there any existing group theory which can help here? All these <br>leadhead orders are effectively cyclic subgroups of Sn. Is there any <br>characterization of such subgroups which can help?<br><br>MBD<br><br><br>_______________________________________________<br>ringing-theory mailing list<br>ringing-theory@bellringers.org<br>http://lists.ringingworld.co.uk/listinfo/ringing-theory<br></div></div></blockquote></body></html>