# [r-t] Ringable Alternating Groups On Five Bells

Alexander Holroyd holroyd at math.ubc.ca
Fri Aug 28 14:13:24 BST 2020

```"Orderings" (i.e. in-course 60s) that do not come round are also of
interest, because they can often (always?) be doubled using two single
changes to give an extent.  Here is one of my favourites:

https://www.math.ubc.ca/~holroyd/comps/o5.txt

|http://www.boojum.org.uk/cgi-bin/line.pl?bells=5&pn=5.3.1.5.1.5.3.1.5.1.5.3.1.5.1.5.3.1.5.1.5.3.1.5.3.1.5.1.5.1.5.1.5.1.3.5.1.3.5.1.5.1.3.5.1.5.1.3.5.1.5.1.3.5.1.5.1.3.5.125.5.3.1.5.1.5.3.1.5.1.5.3.1.5.1.5.3.1.5.1.5.3.1.5.3.1.5.1.5.1.5.1.5.1.3.5.1.3.5.1.5.1.3.5.1.5.1.3.5.1.5.1.3.5.1.5.1.3.5.345&lines=1&line=2&line1=h&line1c=red&line1w=1%20pt&line2=v&style=1&place-bellsx=on&miss-numbers=never&layout=1&X-per-column=60&X-per-columnx=rows&action.x=1
|

On 25/08/2020 15:20, Joe Norton wrote:
>
> Some time ago I started looking into ways of ringing the alternating
> group. Obviously, this is essentially the orderings of the in-course
> changes on a given number of bells which are legal to ring. Stedman
> Doubles is a classic example of a ringable ordering of A5.
>
> My intention is to look into orderings of subsets of the alternating
> group at higher stages and the combinatorics thereof. But as an aside
> I have some interesting results on A5 and the number of ways of
> ringing it. These are particularly interesting to me because any pair
> of such blocks can be used to create an extent by swapping a pair
> halfway and end.
>
> I’m sure I’m not the first to generate these blocks but, just in case
> there is part of it that is useful, I thought I’d share my findings
> thus far.
>
> _*
> *_
>
> _*Findings*_
>
>
> There are 8608 ringable orderings of A5. After removing rotations,
> this number is reduced to 152.
>
> Of these 152 blocks:
>
> 4 blocks have order 5 (length 12). These are Stedman, Reverse Stedman,
> Carter and Reverse Carter. These blocks are all palindromic.
>
> 8 blocks have order 3 (length 20). None of these blocks is
> palindromic. They fall into two subsets of four. One subset is the
> Grandsire half hunt, along with its reflections and reversals. The
> other is possibly spliced Grandsire and Double Grandsire, with its
> reflections and reversals.
>
> Interestingly, all blocks of order 3 have a hunt bell. (Is that a
> manifestation of some result in group theory?)
>
> The remaining 140 blocks have order 1 (length 60). 20 of these are
> palindromic and 120 are non-palindromic.
>
> The 20 palindromic blocks fall into 10 subsets of 2 reflections.
>
> The 120 non-palindromic blocks fall into 30 subsets of 4 reflections
> and reversals.
>
> Here are all 152 blocks. I have used “REVERSE” to mean reflection, as
> in the reverse method. I have used “BACKWARDS” to mean reversal, as in
> reading the changes from last to first. Other than methods which have
> been named previously, I haven't chosen any particular rotation of any
> block.
>
> _*Blocks of order 5 (length 12)*_
>
> (Block 41a) Stedman
> 3.1.5.3.1.3.1.3.5.1.3.1
> (Block 41b) Reverse Stedman
> 3.5.1.3.5.3.5.3.1.5.3.5
>
> (Block 42a) Carter
> 5.3.1.3.5.1.3.5.3.5.3.1
> (Block 42a) Reverse Carter
> 3.1.5.3.1.3.1.3.5.1.3.5
> (Carter and Stedman are PALINDROMIC)
>
> _*Blocks of order 3 (length 20)*_
>
> (Block 43a) Grandsire half hunt
> 3.1.5.1.5.1.5.1.5.1.3.1.5.1.5.1.5.1.3.1
> (Block 43b) Backwards Grandsire half hunt
> 3.1.5.1.5.1.5.1.3.1.5.1.5.1.5.1.5.1.3.1
> (Block 43c) Reverse Grandsire half hunt
> 5.1.5.1.5.3.5.1.5.1.5.1.5.3.5.3.5.1.5.1
> (Block 43d) Backwards Reverse Grandsire half hunt
> 5.1.5.3.5.3.5.1.5.1.5.1.5.3.5.1.5.1.5.1
> 43a is BACKWARDS 43b
> 43b is REVERSE 43d
> 43d is BACKWARDS 43c
> 43c is REVERSE 43a
>
> (Block 44a) Possibly bobbed lead of Grandsire plus bobbed lead of
> Double Grandsire?
> 3.1.5.1.5.1.5.1.3.1.3.1.5.1.5.3.5.1.3.1
> (Block 44b)
> 3.1.5.3.5.1.5.1.3.1.3.1.5.1.5.1.5.1.3.1
> (Block 44c)
> 5.1.5.3.5.3.5.1.5.1.5.1.5.3.5.3.5.1.3.1
> (Block 44d)
> 3.1.5.3.5.3.5.1.5.1.5.1.5.3.5.3.5.1.5.1
> 44a is BACKWARDS 44b
> 44b is REVERSE 44c
> 44c is BACKWARDS 44d
> 44d is REVERSE 44a
>
>
> _*Blocks of order 1 (length 60)*_
>
> (Block 1a)
> 1.3.1.3.1.5.1.3.1.3.1.5.1.5.1.3.1.3.1.5.1.3.1.3.1.5.1.5.3.1.3.1.3.5.3.1.3.1.3.5.1.3.1.3.1.5.3.1.3.1.3.5.3.1.3.1.3.5.1.5
> (Block 1b)
> 1.3.5.3.5.3.1.3.5.3.5.3.1.5.1.5.3.5.3.5.1.5.3.5.3.5.1.5.1.5.3.5.3.5.1.5.3.5.3.5.1.5.1.3.5.3.5.3.1.3.5.3.5.3.1.5.3.5.3.5
> 1a is REVERSE 1b
> 1a and 1b are PALINDROMIC
>
> (Block 2a)
> 1.3.1.3.1.5.1.3.5.3.1.5.3.1.3.1.3.5.3.1.3.5.3.1.5.1.5.1.3.5.3.1.3.5.3.1.3.1.3.5.1.3.5.3.1.5.1.3.1.3.1.5.1.5.3.5.3.5.1.5
> (Block 2b)
> 1.3.1.3.1.5.1.5.3.5.3.5.1.5.3.1.3.5.1.3.5.3.5.3.1.3.5.3.1.3.5.1.5.1.5.3.1.3.5.3.1.3.5.3.5.3.1.5.3.1.3.5.1.5.3.5.3.5.1.5
> 2a is REVERSE 2b
> 2a and 2b are PALINDROMIC
>
> (Block 3a)
> 1.3.1.3.1.5.1.5.1.3.1.3.1.5.1.5.3.5.3.5.1.3.1.5.1.5.3.1.3.5.3.1.3.5.1.3.1.3.1.5.3.1.3.5.3.1.3.5.1.5.1.3.1.5.3.5.3.5.1.5
> (Block 3b)
> 1.3.1.3.1.5.1.5.3.5.3.5.1.5.1.5.3.5.3.5.1.5.1.3.1.3.1.5.3.5.1.5.1.3.5.3.1.3.5.3.1.5.3.5.3.5.1.3.5.3.1.3.5.3.1.5.1.5.3.5
> 3a is REVERSE 3b
> 3a and 3b are PALINDROMIC
>
> (Block 4a)
> 1.3.1.3.1.5.1.5.3.1.3.5.1.3.5.3.1.3.1.3.5.1.5.1.5.3.1.3.1.3.5.3.1.5.3.1.3.5.1.5.1.3.1.3.1.5.3.5.1.5.1.3.1.3.1.5.1.5.3.5
> (Block 4b)
> 1.3.1.5.1.5.3.5.3.5.1.5.1.3.1.5.3.5.3.5.1.5.1.3.5.3.1.5.3.1.3.5.3.5.3.1.5.1.5.1.3.5.3.5.3.1.3.5.1.3.5.3.1.5.1.5.3.5.3.5
> 4a is REVERSE 4b
> 4a and 4b are PALINDROMIC
>
> (Block 5a)
> 1.3.1.3.1.5.3.1.3.1.3.5.1.3.1.5.1.3.1.5.3.1.3.1.3.5.1.3.1.3.1.5.3.1.5.1.5.3.1.3.1.3.5.1.3.1.3.1.5.3.1.3.1.3.5.1.5.1.3.5
> (Block 5b)
> 1.3.5.1.5.1.3.5.3.5.3.1.5.3.5.3.5.1.3.5.3.5.3.1.5.1.5.3.1.5.3.5.3.5.1.3.5.3.5.3.1.5.3.5.1.5.3.5.1.3.5.3.5.3.1.5.3.5.3.5
> 5a is REVERSE 5b
> 5a and 5b are PALINDROMIC
>
> (Block 6a)
> 1.3.1.3.1.5.3.1.3.1.3.5.3.5.3.1.3.1.3.5.1.3.1.3.1.5.3.1.5.1.5.3.1.5.3.5.1.3.1.5.3.1.3.1.3.5.1.3.1.5.3.5.1.3.5.1.5.1.3.5
> (Block 6b)
> 1.3.1.3.5.3.5.3.1.5.3.5.3.5.1.3.5.1.5.1.3.5.1.3.1.5.3.5.1.3.5.3.5.3.1.5.3.5.1.3.1.5.3.1.5.1.5.3.1.5.3.5.3.5.1.3.5.3.5.3
> 6a is REVERSE 6b
> 6a and 6b are PALINDROMIC
>
> (Block 7a)
> 1.3.1.3.1.5.3.1.5.1.5.3.1.5.1.5.3.1.5.1.5.3.1.3.1.3.5.1.3.1.5.1.5.1.5.1.3.1.5.3.1.3.1.3.5.1.5.1.3.5.1.5.1.3.5.1.5.1.3.5
> (Block 7b)
> 1.3.5.1.5.1.3.5.1.5.1.3.5.1.5.1.3.5.3.5.3.1.5.3.5.1.5.1.5.1.5.3.5.1.3.5.3.5.3.1.5.1.5.3.1.5.1.5.3.1.5.1.5.3.1.5.3.5.3.5
> 7a is REVERSE 7b
> 7a and 7b are PALINDROMIC
>
> (Block 8a)
> 1.3.1.3.5.1.5.1.3.5.1.3.1.5.1.5.1.3.1.5.3.1.5.1.5.3.1.3.1.3.5.1.5.1.3.5.1.5.1.3.5.1.3.1.5.1.3.1.5.3.1.5.1.5.3.1.5.1.5.3
> (Block 8b)
> 1.3.5.1.5.1.3.5.1.5.1.3.5.3.5.3.1.5.1.5.3.1.5.3.5.1.5.1.5.3.5.1.3.5.1.5.1.3.5.3.5.3.1.5.1.5.3.1.5.1.5.3.1.5.3.5.1.5.3.5
> 8a is REVERSE 8b
> 8a and 8b are PALINDROMIC
>
> (Block 9a)
> 1.3.1.3.5.1.5.1.3.5.1.3.1.5.3.5.1.3.5.1.5.1.3.5.1.3.1.5.1.3.1.5.3.1.5.1.5.3.1.5.3.5.1.3.1.5.3.1.5.1.5.3.1.3.1.3.5.3.5.3
> (Block 9b)
> 1.3.1.3.5.3.5.3.1.5.1.5.3.1.5.3.5.1.3.1.5.3.1.5.1.5.3.1.5.3.5.1.5.3.5.1.3.5.1.5.1.3.5.1.3.1.5.3.5.1.3.5.1.5.1.3.5.3.5.3
> 9a is REVERSE 9b
> 9a and 9b are PALINDROMIC
>
> (Block 10a)
> 1.3.1.3.5.1.5.1.3.5.1.5.1.3.5.1.5.1.3.5.1.5.1.3.5.1.3.1.5.1.5.1.5.1.5.1.3.1.5.3.1.5.1.5.3.1.5.1.5.3.1.5.1.5.3.1.5.1.5.3
> (Block 10b)
> 1.3.5.1.5.1.3.5.1.5.1.3.5.1.5.1.3.5.1.5.1.3.5.3.5.3.1.5.1.5.3.1.5.1.5.3.1.5.1.5.3.1.5.1.5.3.1.5.3.5.1.5.1.5.1.5.1.5.3.5
> 10a is REVERSE 10b
> 10a and 10b are PALINDROMIC
>
> (Block 11a)
> 1.3.1.3.1.5.1.3.1.3.1.5.1.3.1.5.1.3.1.5.1.5.1.3.1.3.1.5.1.3.1.5.1.5.1.3.1.3.1.5.1.5.1.3.1.3.1.5.1.3.1.3.1.5.1.5.1.5.1.5
> (Block 11b)
> 1.5.1.5.1.5.1.5.3.5.3.5.1.5.3.5.3.5.1.5.3.5.1.5.3.5.1.5.1.5.3.5.3.5.1.5.3.5.1.5.1.5.3.5.3.5.1.5.1.5.3.5.3.5.1.5.3.5.3.5
> (Block 11c)
> 1.5.1.5.1.5.1.5.3.5.3.5.1.5.3.5.3.5.1.5.1.5.3.5.3.5.1.5.1.5.3.5.1.5.3.5.3.5.1.5.1.5.3.5.1.5.3.5.1.5.3.5.3.5.1.5.3.5.3.5
> (Block 11d)
> 1.3.1.3.1.5.1.3.1.3.1.5.1.5.1.3.1.3.1.5.1.5.1.3.1.5.1.3.1.3.1.5.1.5.1.3.1.5.1.3.1.5.1.3.1.3.1.5.1.3.1.3.1.5.1.5.1.5.1.5
> 11a is REVERSE 11b
> 11b is BACKWARDS 11c
> 11c is REVERSE 11d
> 11d is BACKWARDS 11a
>
> (Block 12a)
> 1.3.1.3.1.5.1.3.1.5.1.5.1.3.1.3.1.5.1.5.1.3.1.5.1.3.1.5.1.5.1.5.1.5.1.3.1.3.1.5.1.5.1.5.1.3.1.5.1.3.1.3.1.5.1.5.1.5.1.5
> (Block 12b)
> 1.5.1.5.1.5.1.5.3.5.3.5.1.5.1.5.1.5.3.5.1.5.3.5.3.5.1.5.1.5.1.5.1.5.3.5.3.5.1.5.3.5.1.5.1.5.3.5.3.5.1.5.1.5.3.5.1.5.3.5
> (Block 12c)
> 1.5.1.5.1.5.1.5.3.5.1.5.3.5.1.5.1.5.3.5.3.5.1.5.1.5.3.5.1.5.3.5.3.5.1.5.1.5.1.5.1.5.3.5.3.5.1.5.3.5.1.5.1.5.1.5.3.5.3.5
> (Block 12d)
> 1.3.1.3.1.5.1.3.1.5.1.5.1.5.1.3.1.3.1.5.1.5.1.5.1.5.1.3.1.5.1.3.1.5.1.5.1.3.1.3.1.5.1.5.1.3.1.5.1.3.1.3.1.5.1.5.1.5.1.5
> 12a is REVERSE 12b
> 12b is BACKWARDS 12c
> 12c is REVERSE 12d
> 12d is BACKWARDS 12a
>
> (Block 13a)
> 1.3.1.3.1.5.1.3.1.5.1.5.1.3.1.3.1.5.1.5.3.1.5.1.5.1.3.1.5.3.1.3.1.3.5.3.1.5.1.3.5.3.1.3.1.3.5.1.5.1.5.1.5.3.1.5.1.5.1.5
> (Block 13b)
> 1.3.5.1.5.1.5.1.5.3.5.3.5.1.5.3.5.1.5.1.5.3.5.3.5.1.5.1.3.5.1.5.1.5.3.5.1.3.5.3.5.3.1.3.5.1.5.3.1.3.5.3.5.3.1.5.1.5.1.5
> (Block 13c)
> 1.3.5.1.5.3.1.3.5.3.5.3.1.5.3.5.1.5.1.5.3.1.5.1.5.3.5.3.5.1.5.1.5.3.5.1.5.3.5.3.5.1.5.1.5.1.5.3.1.5.1.5.1.5.1.3.5.3.5.3
> (Block 13d)
> 1.3.1.3.1.5.1.5.1.3.1.5.1.3.1.3.1.5.1.5.1.5.1.3.5.1.5.1.5.1.5.3.1.3.1.3.5.3.1.5.1.3.5.3.1.3.1.3.5.1.3.1.5.1.5.1.3.5.1.5
> 13a is REVERSE 13b
> 13b is BACKWARDS 13c
> 13c is REVERSE 13d
> 13d is BACKWARDS 13a
>
> (Block 14a)
> 1.3.1.3.1.5.1.3.1.5.1.5.1.3.1.3.1.5.3.5.1.3.1.5.1.3.1.5.3.1.3.1.3.5.3.1.3.1.3.5.3.5.3.1.3.1.3.5.3.1.3.1.3.5.1.5.1.5.3.5
> (Block 14b)
> 1.3.1.3.5.3.5.3.1.3.5.3.5.3.1.5.1.5.1.3.1.5.3.5.3.5.1.5.3.5.1.5.1.5.3.5.3.5.1.3.1.5.3.5.1.5.3.5.1.3.5.3.5.3.1.3.5.3.5.3
> (Block 14c)
> 1.3.1.3.5.3.5.3.1.3.5.3.5.3.1.5.3.5.1.5.3.5.1.3.1.5.3.5.3.5.1.5.1.5.3.5.1.5.3.5.3.5.1.3.1.5.1.5.1.3.5.3.5.3.1.3.5.3.5.3
> (Block 14d)
> 1.3.1.3.1.5.1.5.1.3.1.5.1.3.1.3.1.5.3.5.1.5.1.5.3.1.3.1.3.5.3.1.3.1.3.5.3.5.3.1.3.1.3.5.3.1.3.1.3.5.1.3.1.5.1.3.1.5.3.5
> 14a is REVERSE 14b
> 14b is BACKWARDS 14c
> 14c is REVERSE 14d
> 14d is BACKWARDS 14a
>
> (Block 15a)
> 1.3.1.3.1.5.1.3.1.5.1.5.1.3.1.3.1.5.3.5.1.5.1.5.1.3.1.3.1.5.1.3.1.5.1.5.1.5.1.3.1.3.1.5.3.5.1.3.1.5.1.3.1.5.1.5.1.5.3.5
> (Block 15b)
> 1.3.1.5.1.5.1.5.3.5.3.5.1.5.3.5.1.5.1.5.1.5.3.5.3.5.1.3.1.5.3.5.1.5.3.5.1.5.1.5.1.3.1.5.3.5.3.5.1.5.3.5.1.5.1.5.3.5.3.5
> (Block 15c)
> 1.3.1.5.1.5.1.5.3.5.1.5.3.5.1.3.1.5.3.5.3.5.1.5.1.5.1.5.3.5.1.5.3.5.3.5.1.5.1.5.1.3.1.5.3.5.3.5.1.5.1.5.3.5.1.5.3.5.3.5
> (Block 15d)
> 1.3.1.3.1.5.1.5.1.3.1.5.1.3.1.3.1.5.3.5.1.5.1.5.1.3.1.5.1.3.1.5.3.5.1.3.1.3.1.5.1.5.1.5.1.3.1.5.1.3.1.3.1.5.1.5.1.5.3.5
> 15a is REVERSE 15b
> 15b is BACKWARDS 15c
> 15c is REVERSE 15d
> 15d is BACKWARDS 15a
>
> (Block 16a)
> 1.3.1.3.1.5.1.3.1.5.1.5.1.5.1.3.1.5.1.5.1.5.1.3.1.5.1.3.1.3.1.5.1.5.1.5.3.5.1.3.1.5.1.5.1.3.1.5.3.5.1.5.1.5.1.5.1.5.3.5
> (Block 16b)
> 1.3.1.5.1.5.1.5.1.5.1.3.1.5.3.5.3.5.1.5.3.5.1.5.1.5.1.5.3.5.1.5.1.5.1.5.3.5.1.5.3.5.3.5.1.5.1.5.1.3.1.5.3.5.1.5.1.5.3.5
> (Block 16c)
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>
> (Block 17a)
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>
> (Block 18a)
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