# [r-t] Ringable Alternating Groups On Five Bells

Joe Norton super.joey.norton at gmail.com
Tue Aug 25 15:20:57 BST 2020

```Some time ago I started looking into ways of ringing the alternating
group. Obviously, this is essentially the orderings of the in-course
changes on a given number of bells which are legal to ring. Stedman
Doubles is a classic example of a ringable ordering of A5.

My intention is to look into orderings of subsets of the alternating
group at higher stages and the combinatorics thereof. But as an aside I
have some interesting results on A5 and the number of ways of ringing
it. These are particularly interesting to me because any pair of such
blocks can be used to create an extent by swapping a pair halfway and end.

I’m sure I’m not the first to generate these blocks but, just in case
there is part of it that is useful, I thought I’d share my findings thus
far.

_*
*_

_*Findings*_

There are 8608 ringable orderings of A5. After removing rotations, this
number is reduced to 152.

Of these 152 blocks:

4 blocks have order 5 (length 12). These are Stedman, Reverse Stedman,
Carter and Reverse Carter. These blocks are all palindromic.

8 blocks have order 3 (length 20). None of these blocks is palindromic.
They fall into two subsets of four. One subset is the Grandsire half
hunt, along with its reflections and reversals. The other is possibly
spliced Grandsire and Double Grandsire, with its reflections and reversals.

Interestingly, all blocks of order 3 have a hunt bell. (Is that a
manifestation of some result in group theory?)

The remaining 140 blocks have order 1 (length 60). 20 of these are
palindromic and 120 are non-palindromic.

The 20 palindromic blocks fall into 10 subsets of 2 reflections.

The 120 non-palindromic blocks fall into 30 subsets of 4 reflections and
reversals.

Here are all 152 blocks. I have used “REVERSE” to mean reflection, as in
the reverse method. I have used “BACKWARDS” to mean reversal, as in
reading the changes from last to first. Other than methods which have
been named previously, I haven't chosen any particular rotation of any
block.

_*Blocks of order 5 (length 12)*_

(Block 41a) Stedman
3.1.5.3.1.3.1.3.5.1.3.1
(Block 41b) Reverse Stedman
3.5.1.3.5.3.5.3.1.5.3.5

(Block 42a) Carter
5.3.1.3.5.1.3.5.3.5.3.1
(Block 42a) Reverse Carter
3.1.5.3.1.3.1.3.5.1.3.5
(Carter and Stedman are PALINDROMIC)

_*Blocks of order 3 (length 20)*_

(Block 43a) Grandsire half hunt
3.1.5.1.5.1.5.1.5.1.3.1.5.1.5.1.5.1.3.1
(Block 43b) Backwards Grandsire half hunt
3.1.5.1.5.1.5.1.3.1.5.1.5.1.5.1.5.1.3.1
(Block 43c) Reverse Grandsire half hunt
5.1.5.1.5.3.5.1.5.1.5.1.5.3.5.3.5.1.5.1
(Block 43d) Backwards Reverse Grandsire half hunt
5.1.5.3.5.3.5.1.5.1.5.1.5.3.5.1.5.1.5.1
43a is BACKWARDS 43b
43b is REVERSE 43d
43d is BACKWARDS 43c
43c is REVERSE 43a

(Block 44a) Possibly bobbed lead of Grandsire plus bobbed lead of Double
Grandsire?
3.1.5.1.5.1.5.1.3.1.3.1.5.1.5.3.5.1.3.1
(Block 44b)
3.1.5.3.5.1.5.1.3.1.3.1.5.1.5.1.5.1.3.1
(Block 44c)
5.1.5.3.5.3.5.1.5.1.5.1.5.3.5.3.5.1.3.1
(Block 44d)
3.1.5.3.5.3.5.1.5.1.5.1.5.3.5.3.5.1.5.1
44a is BACKWARDS 44b
44b is REVERSE 44c
44c is BACKWARDS 44d
44d is REVERSE 44a

_*Blocks of order 1 (length 60)*_

(Block 1a)
1.3.1.3.1.5.1.3.1.3.1.5.1.5.1.3.1.3.1.5.1.3.1.3.1.5.1.5.3.1.3.1.3.5.3.1.3.1.3.5.1.3.1.3.1.5.3.1.3.1.3.5.3.1.3.1.3.5.1.5
(Block 1b)
1.3.5.3.5.3.1.3.5.3.5.3.1.5.1.5.3.5.3.5.1.5.3.5.3.5.1.5.1.5.3.5.3.5.1.5.3.5.3.5.1.5.1.3.5.3.5.3.1.3.5.3.5.3.1.5.3.5.3.5
1a is REVERSE 1b
1a and 1b are PALINDROMIC

(Block 2a)
1.3.1.3.1.5.1.3.5.3.1.5.3.1.3.1.3.5.3.1.3.5.3.1.5.1.5.1.3.5.3.1.3.5.3.1.3.1.3.5.1.3.5.3.1.5.1.3.1.3.1.5.1.5.3.5.3.5.1.5
(Block 2b)
1.3.1.3.1.5.1.5.3.5.3.5.1.5.3.1.3.5.1.3.5.3.5.3.1.3.5.3.1.3.5.1.5.1.5.3.1.3.5.3.1.3.5.3.5.3.1.5.3.1.3.5.1.5.3.5.3.5.1.5
2a is REVERSE 2b
2a and 2b are PALINDROMIC

(Block 3a)
1.3.1.3.1.5.1.5.1.3.1.3.1.5.1.5.3.5.3.5.1.3.1.5.1.5.3.1.3.5.3.1.3.5.1.3.1.3.1.5.3.1.3.5.3.1.3.5.1.5.1.3.1.5.3.5.3.5.1.5
(Block 3b)
1.3.1.3.1.5.1.5.3.5.3.5.1.5.1.5.3.5.3.5.1.5.1.3.1.3.1.5.3.5.1.5.1.3.5.3.1.3.5.3.1.5.3.5.3.5.1.3.5.3.1.3.5.3.1.5.1.5.3.5
3a is REVERSE 3b
3a and 3b are PALINDROMIC

(Block 4a)
1.3.1.3.1.5.1.5.3.1.3.5.1.3.5.3.1.3.1.3.5.1.5.1.5.3.1.3.1.3.5.3.1.5.3.1.3.5.1.5.1.3.1.3.1.5.3.5.1.5.1.3.1.3.1.5.1.5.3.5
(Block 4b)
1.3.1.5.1.5.3.5.3.5.1.5.1.3.1.5.3.5.3.5.1.5.1.3.5.3.1.5.3.1.3.5.3.5.3.1.5.1.5.1.3.5.3.5.3.1.3.5.1.3.5.3.1.5.1.5.3.5.3.5
4a is REVERSE 4b
4a and 4b are PALINDROMIC

(Block 5a)
1.3.1.3.1.5.3.1.3.1.3.5.1.3.1.5.1.3.1.5.3.1.3.1.3.5.1.3.1.3.1.5.3.1.5.1.5.3.1.3.1.3.5.1.3.1.3.1.5.3.1.3.1.3.5.1.5.1.3.5
(Block 5b)
1.3.5.1.5.1.3.5.3.5.3.1.5.3.5.3.5.1.3.5.3.5.3.1.5.1.5.3.1.5.3.5.3.5.1.3.5.3.5.3.1.5.3.5.1.5.3.5.1.3.5.3.5.3.1.5.3.5.3.5
5a is REVERSE 5b
5a and 5b are PALINDROMIC

(Block 6a)
1.3.1.3.1.5.3.1.3.1.3.5.3.5.3.1.3.1.3.5.1.3.1.3.1.5.3.1.5.1.5.3.1.5.3.5.1.3.1.5.3.1.3.1.3.5.1.3.1.5.3.5.1.3.5.1.5.1.3.5
(Block 6b)
1.3.1.3.5.3.5.3.1.5.3.5.3.5.1.3.5.1.5.1.3.5.1.3.1.5.3.5.1.3.5.3.5.3.1.5.3.5.1.3.1.5.3.1.5.1.5.3.1.5.3.5.3.5.1.3.5.3.5.3
6a is REVERSE 6b
6a and 6b are PALINDROMIC

(Block 7a)
1.3.1.3.1.5.3.1.5.1.5.3.1.5.1.5.3.1.5.1.5.3.1.3.1.3.5.1.3.1.5.1.5.1.5.1.3.1.5.3.1.3.1.3.5.1.5.1.3.5.1.5.1.3.5.1.5.1.3.5
(Block 7b)
1.3.5.1.5.1.3.5.1.5.1.3.5.1.5.1.3.5.3.5.3.1.5.3.5.1.5.1.5.1.5.3.5.1.3.5.3.5.3.1.5.1.5.3.1.5.1.5.3.1.5.1.5.3.1.5.3.5.3.5
7a is REVERSE 7b
7a and 7b are PALINDROMIC

(Block 8a)
1.3.1.3.5.1.5.1.3.5.1.3.1.5.1.5.1.3.1.5.3.1.5.1.5.3.1.3.1.3.5.1.5.1.3.5.1.5.1.3.5.1.3.1.5.1.3.1.5.3.1.5.1.5.3.1.5.1.5.3
(Block 8b)
1.3.5.1.5.1.3.5.1.5.1.3.5.3.5.3.1.5.1.5.3.1.5.3.5.1.5.1.5.3.5.1.3.5.1.5.1.3.5.3.5.3.1.5.1.5.3.1.5.1.5.3.1.5.3.5.1.5.3.5
8a is REVERSE 8b
8a and 8b are PALINDROMIC

(Block 9a)
1.3.1.3.5.1.5.1.3.5.1.3.1.5.3.5.1.3.5.1.5.1.3.5.1.3.1.5.1.3.1.5.3.1.5.1.5.3.1.5.3.5.1.3.1.5.3.1.5.1.5.3.1.3.1.3.5.3.5.3
(Block 9b)
1.3.1.3.5.3.5.3.1.5.1.5.3.1.5.3.5.1.3.1.5.3.1.5.1.5.3.1.5.3.5.1.5.3.5.1.3.5.1.5.1.3.5.1.3.1.5.3.5.1.3.5.1.5.1.3.5.3.5.3
9a is REVERSE 9b
9a and 9b are PALINDROMIC

(Block 10a)
1.3.1.3.5.1.5.1.3.5.1.5.1.3.5.1.5.1.3.5.1.5.1.3.5.1.3.1.5.1.5.1.5.1.5.1.3.1.5.3.1.5.1.5.3.1.5.1.5.3.1.5.1.5.3.1.5.1.5.3
(Block 10b)
1.3.5.1.5.1.3.5.1.5.1.3.5.1.5.1.3.5.1.5.1.3.5.3.5.3.1.5.1.5.3.1.5.1.5.3.1.5.1.5.3.1.5.1.5.3.1.5.3.5.1.5.1.5.1.5.1.5.3.5
10a is REVERSE 10b
10a and 10b are PALINDROMIC

(Block 11a)
1.3.1.3.1.5.1.3.1.3.1.5.1.3.1.5.1.3.1.5.1.5.1.3.1.3.1.5.1.3.1.5.1.5.1.3.1.3.1.5.1.5.1.3.1.3.1.5.1.3.1.3.1.5.1.5.1.5.1.5
(Block 11b)
1.5.1.5.1.5.1.5.3.5.3.5.1.5.3.5.3.5.1.5.3.5.1.5.3.5.1.5.1.5.3.5.3.5.1.5.3.5.1.5.1.5.3.5.3.5.1.5.1.5.3.5.3.5.1.5.3.5.3.5
(Block 11c)
1.5.1.5.1.5.1.5.3.5.3.5.1.5.3.5.3.5.1.5.1.5.3.5.3.5.1.5.1.5.3.5.1.5.3.5.3.5.1.5.1.5.3.5.1.5.3.5.1.5.3.5.3.5.1.5.3.5.3.5
(Block 11d)
1.3.1.3.1.5.1.3.1.3.1.5.1.5.1.3.1.3.1.5.1.5.1.3.1.5.1.3.1.3.1.5.1.5.1.3.1.5.1.3.1.5.1.3.1.3.1.5.1.3.1.3.1.5.1.5.1.5.1.5
11a is REVERSE 11b
11b is BACKWARDS 11c
11c is REVERSE 11d
11d is BACKWARDS 11a

(Block 12a)
1.3.1.3.1.5.1.3.1.5.1.5.1.3.1.3.1.5.1.5.1.3.1.5.1.3.1.5.1.5.1.5.1.5.1.3.1.3.1.5.1.5.1.5.1.3.1.5.1.3.1.3.1.5.1.5.1.5.1.5
(Block 12b)
1.5.1.5.1.5.1.5.3.5.3.5.1.5.1.5.1.5.3.5.1.5.3.5.3.5.1.5.1.5.1.5.1.5.3.5.3.5.1.5.3.5.1.5.1.5.3.5.3.5.1.5.1.5.3.5.1.5.3.5
(Block 12c)
1.5.1.5.1.5.1.5.3.5.1.5.3.5.1.5.1.5.3.5.3.5.1.5.1.5.3.5.1.5.3.5.3.5.1.5.1.5.1.5.1.5.3.5.3.5.1.5.3.5.1.5.1.5.1.5.3.5.3.5
(Block 12d)
1.3.1.3.1.5.1.3.1.5.1.5.1.5.1.3.1.3.1.5.1.5.1.5.1.5.1.3.1.5.1.3.1.5.1.5.1.3.1.3.1.5.1.5.1.3.1.5.1.3.1.3.1.5.1.5.1.5.1.5
12a is REVERSE 12b
12b is BACKWARDS 12c
12c is REVERSE 12d
12d is BACKWARDS 12a

(Block 13a)
1.3.1.3.1.5.1.3.1.5.1.5.1.3.1.3.1.5.1.5.3.1.5.1.5.1.3.1.5.3.1.3.1.3.5.3.1.5.1.3.5.3.1.3.1.3.5.1.5.1.5.1.5.3.1.5.1.5.1.5
(Block 13b)
1.3.5.1.5.1.5.1.5.3.5.3.5.1.5.3.5.1.5.1.5.3.5.3.5.1.5.1.3.5.1.5.1.5.3.5.1.3.5.3.5.3.1.3.5.1.5.3.1.3.5.3.5.3.1.5.1.5.1.5
(Block 13c)
1.3.5.1.5.3.1.3.5.3.5.3.1.5.3.5.1.5.1.5.3.1.5.1.5.3.5.3.5.1.5.1.5.3.5.1.5.3.5.3.5.1.5.1.5.1.5.3.1.5.1.5.1.5.1.3.5.3.5.3
(Block 13d)
1.3.1.3.1.5.1.5.1.3.1.5.1.3.1.3.1.5.1.5.1.5.1.3.5.1.5.1.5.1.5.3.1.3.1.3.5.3.1.5.1.3.5.3.1.3.1.3.5.1.3.1.5.1.5.1.3.5.1.5
13a is REVERSE 13b
13b is BACKWARDS 13c
13c is REVERSE 13d
13d is BACKWARDS 13a

(Block 14a)
1.3.1.3.1.5.1.3.1.5.1.5.1.3.1.3.1.5.3.5.1.3.1.5.1.3.1.5.3.1.3.1.3.5.3.1.3.1.3.5.3.5.3.1.3.1.3.5.3.1.3.1.3.5.1.5.1.5.3.5
(Block 14b)
1.3.1.3.5.3.5.3.1.3.5.3.5.3.1.5.1.5.1.3.1.5.3.5.3.5.1.5.3.5.1.5.1.5.3.5.3.5.1.3.1.5.3.5.1.5.3.5.1.3.5.3.5.3.1.3.5.3.5.3
(Block 14c)
1.3.1.3.5.3.5.3.1.3.5.3.5.3.1.5.3.5.1.5.3.5.1.3.1.5.3.5.3.5.1.5.1.5.3.5.1.5.3.5.3.5.1.3.1.5.1.5.1.3.5.3.5.3.1.3.5.3.5.3
(Block 14d)
1.3.1.3.1.5.1.5.1.3.1.5.1.3.1.3.1.5.3.5.1.5.1.5.3.1.3.1.3.5.3.1.3.1.3.5.3.5.3.1.3.1.3.5.3.1.3.1.3.5.1.3.1.5.1.3.1.5.3.5
14a is REVERSE 14b
14b is BACKWARDS 14c
14c is REVERSE 14d
14d is BACKWARDS 14a

(Block 15a)
1.3.1.3.1.5.1.3.1.5.1.5.1.3.1.3.1.5.3.5.1.5.1.5.1.3.1.3.1.5.1.3.1.5.1.5.1.5.1.3.1.3.1.5.3.5.1.3.1.5.1.3.1.5.1.5.1.5.3.5
(Block 15b)
1.3.1.5.1.5.1.5.3.5.3.5.1.5.3.5.1.5.1.5.1.5.3.5.3.5.1.3.1.5.3.5.1.5.3.5.1.5.1.5.1.3.1.5.3.5.3.5.1.5.3.5.1.5.1.5.3.5.3.5
(Block 15c)
1.3.1.5.1.5.1.5.3.5.1.5.3.5.1.3.1.5.3.5.3.5.1.5.1.5.1.5.3.5.1.5.3.5.3.5.1.5.1.5.1.3.1.5.3.5.3.5.1.5.1.5.3.5.1.5.3.5.3.5
(Block 15d)
1.3.1.3.1.5.1.5.1.3.1.5.1.3.1.3.1.5.3.5.1.5.1.5.1.3.1.5.1.3.1.5.3.5.1.3.1.3.1.5.1.5.1.5.1.3.1.5.1.3.1.3.1.5.1.5.1.5.3.5
15a is REVERSE 15b
15b is BACKWARDS 15c
15c is REVERSE 15d
15d is BACKWARDS 15a

(Block 16a)
1.3.1.3.1.5.1.3.1.5.1.5.1.5.1.3.1.5.1.5.1.5.1.3.1.5.1.3.1.3.1.5.1.5.1.5.3.5.1.3.1.5.1.5.1.3.1.5.3.5.1.5.1.5.1.5.1.5.3.5
(Block 16b)
1.3.1.5.1.5.1.5.1.5.1.3.1.5.3.5.3.5.1.5.3.5.1.5.1.5.1.5.3.5.1.5.1.5.1.5.3.5.1.5.3.5.3.5.1.5.1.5.1.3.1.5.3.5.1.5.1.5.3.5
(Block 16c)
1.3.1.5.1.5.1.5.1.5.1.3.1.5.3.5.1.5.1.5.3.5.1.3.1.5.1.5.1.5.3.5.3.5.1.5.3.5.1.5.1.5.1.5.3.5.1.5.1.5.1.5.3.5.1.5.3.5.3.5
(Block 16d)
1.3.1.3.1.5.1.3.1.5.1.5.1.5.1.3.1.5.1.5.1.5.1.3.1.5.1.3.1.3.1.5.3.5.1.5.1.5.1.5.1.5.3.5.1.3.1.5.1.5.1.3.1.5.3.5.1.5.1.5
16a is REVERSE 16b
16b is BACKWARDS 16c
16c is REVERSE 16d
16d is BACKWARDS 16a

(Block 17a)
1.3.1.3.1.5.1.3.1.5.3.1.5.1.3.5.3.1.5.1.5.3.1.3.5.3.1.3.5.1.3.1.3.1.5.3.1.5.1.3.5.3.1.3.1.3.5.3.5.3.1.5.1.3.5.3.5.3.1.5
(Block 17b)
1.3.1.3.5.1.5.3.1.3.1.3.5.1.5.3.5.3.5.1.5.3.5.1.3.5.1.5.3.1.3.5.1.5.1.3.5.3.1.3.5.3.1.5.3.5.3.5.1.3.5.1.5.3.1.3.5.3.5.3
(Block 17c)
1.3.1.3.5.1.5.3.1.3.1.3.5.3.5.3.1.3.5.1.5.3.1.5.3.5.3.5.1.3.5.3.1.3.5.3.1.5.1.5.3.1.3.5.1.5.3.1.5.3.5.1.5.3.5.3.5.1.5.3
(Block 17d)
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31d is BACKWARDS 31a

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